ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 109

Задача 109. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину А, равен 3. Найдите площадь квадрат ABCD.

Ответ

ОТВЕТ: 7,2.

Решение

Пусть сторона квадрата равна \(3a.\) Тогда \(OC = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{3a}}{2}.\) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC:

\(O{C^2} + C{B^2} = O{B^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} = {3^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\dfrac{{9a}}{4}^2} + 9{a^2} = {3^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{45{a^2}}}{4} = 9\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} = \dfrac{{36}}{{45}} = \dfrac{4}{5}.\)

Тогда площадь квадрата ABCD будет равна:

\({S_{ABCD}} = {\left( {3a} \right)^2} = 9{a^2} = 9 \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{{36}}{5} = \dfrac{{72}}{{10}} = 7,2.\)

Ответ: 7,2.