По условию \(OH = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.\) Так как O – центр описанной окружности около равностороннего треугольника ABC, то эта точка также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот этого треугольника. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2 : 1 относительно вершины, то есть:
\(OB = 2 \cdot OH = 2 \cdot \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 .\)
Тогда: \(BH = OB + OH = 3\sqrt 3 + \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}.\)
Так как треугольник ABC равносторонний, то его углы равны по \({60^\circ }.\) Тогда по определению синуса из прямоугольного треугольника ABH:
\(\sin \angle BAH = \dfrac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin {60^\circ } = \dfrac{{\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2 \cdot AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB = 9.\)
Ответ: 9.
Задача 123. В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.\) Найдите сторону треугольника.