По условию \(OH = 5\sqrt 3 .\) Так как O – центр описанной окружности около равностороннего треугольника ABC, то эта точка также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот этого треугольника. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2 : 1 относительно вершины, то есть:
\(OB = 2 \cdot OH = 2 \cdot 5\sqrt 3 = 10\sqrt 3 .\)
Тогда: \(BH = OB + OH = 5\sqrt 3 + 10\sqrt 3 = 15\sqrt 3 .\)
Так как треугольник ABC равносторонний, то его углы равны по \({60^\circ }.\) Тогда по определению синуса из прямоугольного треугольника ABH:
\(\sin \angle BAH = \dfrac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin {60^\circ } = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB = 30.\)
Ответ: 30.
Задача 130. В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно \(5\sqrt 3 .\) Найдите сторону треугольника.