ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 132

ОТВЕТ: 480.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ AC равна диаметру и равна 34. Пусть \(\sin \angle ACD = \dfrac{8}{{17}}.\) По определению синуса из прямоугольного треугольника ACD:

\(\sin \angle CD = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{8}{{17}} = \dfrac{{AD}}{{34}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AD = 34 \cdot \dfrac{8}{{17}} = 2 \cdot 8 = 16.\)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ACD:

\(C{D^2} + A{D^2} = A{C^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,CD = \sqrt {{{34}^2}-{{16}^2}} = \sqrt {1156-256} = \sqrt {900} = 30.\)

Следовательно, площадь прямоугольника равна:

\(S = AD \cdot DC = 16 \cdot 30 = 480.\)

Ответ: 480.