ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 134

ОТВЕТ: 240.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ AC равна диаметру и равна 26. Пусть \(\sin \angle ACD = \dfrac{5}{{13}}.\) По определению синуса из прямоугольного треугольника ACD:

\(\sin \angle CD = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{5}{{13}} = \dfrac{{AD}}{{26}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AD = 26 \cdot \dfrac{5}{{13}} = 2 \cdot 5 = 10.\)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ACD:

\(C{D^2} + A{D^2} = A{C^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,CD = \sqrt {{{26}^2}-{{10}^2}} = \sqrt {676-100} = \sqrt {576} = 24.\)

Следовательно, площадь прямоугольника равна:

\(S = AD \cdot DC = 10 \cdot 24 = 240.\)

Ответ: 240.