ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 136

ОТВЕТ: 60.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ AC равна диаметру и равна 13. Пусть \(\sin \angle ACD = \dfrac{{12}}{{13}}.\) По определению синуса из прямоугольного треугольника ACD:

\(\sin \angle CD = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{12}}{{13}} = \dfrac{{AD}}{{13}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AD = 13 \cdot \dfrac{{12}}{{13}} = 12.\)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ACD:

\(C{D^2} + A{D^2} = A{C^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,CD = \sqrt {{{13}^2}-{{12}^2}} = \sqrt {169-144} = \sqrt {25} = 5.\)

Следовательно, площадь прямоугольника равна:

\(S = AD \cdot DC = 12 \cdot 5 = 60.\)

Ответ: 60.