ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 137

ОТВЕТ: 120.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ AC равна диаметру и равна 17. Пусть \(\sin \angle ACD = \dfrac{{15}}{{17}}.\) По определению синуса из прямоугольного треугольника ACD:

\(\sin \angle CD = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{15}}{{17}} = \dfrac{{AD}}{{17}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AD = 17 \cdot \dfrac{{15}}{{17}} = 15.\)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ACD:

\(C{D^2} + A{D^2} = A{C^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,CD = \sqrt {{{17}^2}-{{15}^2}} = \sqrt {289-225} = \sqrt {64} = 8.\)

Следовательно, площадь прямоугольника равна:

\(S = AD \cdot DC = 15 \cdot 8 = 120.\)

Ответ: 120.