1 способ
Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A{C^2} = {\left( {5\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {5\sqrt 2 } \right)^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A{C^2} = 50 + 50\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A{C^2} = 100\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AC = 10.\)
Ответ: 10.
2 способ
Диагональ AC является биссектрисой угла DAB. Значит \(\angle CAB = \dfrac{{\angle DAB}}{2} = \dfrac{{{{90}^ \circ }}}{2} = {45^ \circ }.\) По определению косинуса из прямоугольного треугольника ABC:
\(\cos \angle CAB = \dfrac{{AB}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos {45^ \circ } = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sqrt 2 AC = 10\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AC = 10.\)
Ответ: 10.
Задача 4. Сторона квадрата равна \(5\sqrt 2 .\) Найдите диагональ этого квадрата.