1 способ
Так как периметр ромба равен 72, то стороны ромба равны \(\dfrac{{72}}{4} = 18.\) Пусть \(\angle BAH = {30^ \circ }.\) Треугольник ABH является прямоугольным с \(\angle BAH = {30^ \circ }.\) По определению синуса для прямоугольного треугольника ABH:
\(\sin \angle BAH = \dfrac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin {30^ \circ } = \dfrac{{BH}}{{18}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2} = \dfrac{{BH}}{{18}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BH = 9.\)
Площадь ромба равна произведению стороны на ромба на высоту, проведённую к этой стороне:
\(S = AD \cdot BH = 18 \cdot 9 = 162.\)
Ответ: 162.
2 способ
Так как периметр ромба равен 72, то стороны ромба равны \(\dfrac{{72}}{4} = 18.\) Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между ними:
\(S = A{B^2} \cdot \sin \angle BAD = {18^2} \cdot \sin {30^ \circ } = 324 \cdot \dfrac{1}{2} = 162.\)
Ответ: 162.
Задача 68. Периметр ромба равен 72, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.