ОГЭ по математике. №20 Уравнения. ФИПИ. Задача 65

ОТВЕТ:  \(-5;\,\,\,\,1.\)

\({x^4} = {\left( {4x-5} \right)^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^4}-{\left( {4x-5} \right)^2} = 0.\)

Воспользуемся формулой сокращённого умножения:  \({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\)

\({x^4}-{\left( {4x-5} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {{x^2}} \right)^2}-{\left( {4x-5} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {{x^2}-\left( {4x-5} \right)} \right)\left( {{x^2} + 4x-5} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{x^2}-4x + 5 = 0,\\{x^2} + 4x-5 = 0.\end{array} \right.\)

Рассмотрим первое уравнение последней совокупности:

\({x^2}-4x + 5 = 0;\,\,\,\,\,\,D = {\left( {-4} \right)^2}-4 \cdot 1 \cdot 5 = 16-20 = -4 < 0.\)

Так как дискриминант меньше нуля, то это уравнение не имеет решений.

Рассмотрим второе уравнение последней совокупности:

\({x^2} + 4x-5 = 0;\,\,\,\,\,\,\,D = {4^2}-4 \cdot 1 \cdot \left( {-5} \right) = 36;\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{-4-6}}{2} = -5,\\x = \dfrac{{-4 + 6}}{2} = 1.\end{array} \right.\)

Следовательно, исходное уравнение имеет 2 решения:  \(\,\left[ \begin{array}{l}x = -5,\\x = 1.\end{array} \right.\)

Ответ:  \(-5;\,\,\,\,1.\)