Задача 74. Решите уравнение: \({\left( {{x^2}-4} \right)^2} + {\left( {{x^2}-3x-10} \right)^2} = 0.\)
ОТВЕТ: \(-2.\)
1 способ Воспользуемся тем, что равенство \({a^2} + {b^2} = 0\) выполнится только в случае \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0,\\b = 0.\end{array} \right.\) Поэтому: \({\left( {{x^2}-4} \right)^2} + {\left( {{x^2}-3x-10} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2}-4 = 0,\\{x^2}-3x-10 = 0.\end{array} \right.\) Рассмотрим первое уравнение системы: \({x^2}-4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2}-{2^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x-2 = 0,\\x + 2 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2,\\x = -2.\end{array} \right.\) Рассмотрим второе уравнение системы: \({x^2}-3x-10 = 0;\,\,\,\,\,\,D = {\left( {-3} \right)^2}-4 \cdot 1 \cdot \left( {-10} \right) = 49;\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3-7}}{2} = -2,\\x = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5.\end{array} \right.\) \(\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2}-4 = 0,\\{x^2}-3x-10 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2,\\x = -2,\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = -2,\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = -2.\) Ответ: \(-2.\) 2 способ Воспользуемся формулой сокращённого умножения: \({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\) Тогда: \({x^2}-4 = {x^2}-{2^2} = \left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right).\) Воспользуемся тем, что \(a\,{x^2} + b\,x + c = a\left( {x-{x_1}} \right)\left( {x-{x_2}} \right),\) где \({x_1}\) и \({x_2}\) корни квадратного трёхчлена \(a\,{x^2} + b\,x + c:\) \({x^2}-3x-10 = 0;\,\,\,\,\,D = {\left( {-3} \right)^2}-4 \cdot 1 \cdot \left( {-10} \right) = 49;\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3-7}}{2} = -2,\\x = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5.\end{array} \right.\) Тогда: \({x^2}-3x-10 = \left( {x + 2} \right)\left( {x-5} \right)\) и исходное уравнение примет вид: \({\left( {{x^2}-4} \right)^2} + {\left( {{x^2}-3x-10} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {x-2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x-5} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {{{\left( {x-2} \right)}^2} + {{\left( {x-5} \right)}^2}} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0,\\{x^2}-4x + 4 + {x^2}-10x + 25 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0,\\2{x^2}-14x + 29 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = -2,\\2{x^2}-14x + 29 = 0.\end{array} \right.\) Рассмотрим второе уравнение последней совокупности: \(2{x^2}-14x + 29 = 0;\,\,\,\,\,\,D = {\left( {-14} \right)^2}-4 \cdot 2 \cdot 29 = 196-232 = -36 < 0.\) Так как дискриминант меньше нуля, то это уравнение не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение имеет 1 решение: \(x = -2.\) Ответ: \(-2.\)