Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде, тогда ее скорость по течению \(x + 3\) км/ч, а против течения \(x-3\) км/ч.
|
v (км/ч) |
t (ч) |
S (км) |
| По течению |
\(x + 3\) |
\(\dfrac{{108}}{{x + 3}}\) |
108 |
| Против течения |
\(x-3\) |
\(\dfrac{{108}}{{x-3}}\) |
108 |
Скорость плота равна скорости течения, то есть 3 км/ч. Следовательно, чтобы проплыть 48 км плот затратил \(\dfrac{{48}}{3} = 16\) часов. Так как лодка оправилась через 1 час после плота, то она была в пути \(16-1 = 15\) часов. Значит:
\(\dfrac{{108}}{{x + 3}} + \dfrac{{108}}{{x-3}} = 15\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{{108\left( {x-3} \right) + 108\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x-3} \right)}} = 15\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{{216x}}{{{x^2}-9}} = 15\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}5\left( {{x^2}-9} \right) = 72x,\\x + 3 \ne 0,\\x-3 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}5{x^2}-72x-45 = 0,\\x \ne -3,\\x \ne 3.\end{array} \right.\)
Решим первое уравнение последней системы:
\(5{x^2}-72x-45 = 0;\,\,\,\,\,\,D = {\left( {-72} \right)^2}-4 \cdot 5 \cdot \left( {-45} \right) = 6084;\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{72 + 78}}{{10}} = 15,\\x = \dfrac{{72-78}}{{10}} = -\dfrac{3}{5}.\end{array} \right.\)
Корень \(x = -\dfrac{3}{5}\) не подходит по смыслу задачи, так как \(x > 0\). Поэтому скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.
Ответ: 15 км/ч.