Задача 1. Постройте график функции \(y = \dfrac{{\left( {{x^2} + 6,25} \right)\left( {x-1} \right)}}{{1-x}}.\)
Определите, при каких значениях k прямая \(y = k\,x\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
ОТВЕТ: \(-7,25;\,\,\,\,\,\,-5;\,\,\,\,\,\,5.\)
Область определения функции: \(1-x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne 1.\) Упростим заданную функцию: \(y = \dfrac{{\left( {{x^2} + 6,25} \right)\left( {x-1} \right)}}{{1-x}} = -\dfrac{{\left( {{x^2} + 6,25} \right)\left( {x-1} \right)}}{{x-1}} = -\left( {{x^2} + 6,25} \right) = -{x^2}-6,25,\,\,\,\,\,\,x \ne 1.\) Следовательно, графиком исходной функции является парабола \(y = -{x^2}-6,25\), с выколотой точкой, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 0.\) Для построения графика функции \(y = -{x^2}-6,25\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = 0,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\) \(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-6,25 = -4-6,25 = -10,25;\) \(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-6,25 = -1-6,25 = -7,25;\) \(y\left( 0 \right) = -{0^2}-6,25 = -6,25;\) \(y\left( 1 \right) = -{1^2}-6,25 = -1-6,25 = -7,25;\) \(y\left( 2 \right) = -{2^2}-6,25 = -4-6,25 = -10,25.\) Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\) Прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком построенной функции одну общую точку в следующих случаях: 1) если прямая \(y = k\,x\) пересекает график параболы \(y = -{x^2}-6,25\) в двух точках, одна из которых является выколотой точкой с координатами \(\left( {1;-7,25} \right).\) Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\): \(-7,25 = k \cdot 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = -7,25.\) На рис. 2 это случай (1). 2) если прямая \(y = k\,x\) касается графика параболы \(y = -{x^2}-6,25\). При этом точка касания \(x \ne 1.\) Для этого система уравнений \(\left\{ \begin{array}{l}y = -{x^2}-6,25,\\y = k\,x\end{array} \right.\) должна иметь одно решение. Следовательно, квадратное уравнение: \(-{x^2}-6,25 = k\,x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} + k\,x + 6,25 = 0\) должно иметь одно решение, что реализуется, если его дискриминант равен нулю: \(D = {k^2}-4 \cdot 1 \cdot 6,25 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{k^2} = 25\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = \pm 5.\) Так как прямая \(y = k\,x\) проходит через точку \(x = 1\) при \(k = -7,25,\) то при \(k = \pm 5\) она будет касаться параболы в точках отличных от \(x = 1.\) На рис. 2 случаи касания (2) и (3). Следовательно, при \(k = -7,25,\) \(k = -5\) и \(k = 5\) прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком заданной функции ровно одну общую точку. Ответ: \(-7,25;\,\,\,\,\,\,-5;\,\,\,\,\,\,5.\)
x
\(-2\)
\(-1\)
0
1
2
y
\(-10,25\)
\(-7,25\)
\(-6,25\)
\(-7,25\)
\(-10,25\)
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {1;-7,25} \right),\) изображён на рис. 1.