ОГЭ по математике. №22 Квадратичные функции. ФИПИ. Задача 10

ОТВЕТ: \(-2;\,\,\,\,\,\,2;\,\,\,\,\,\,2,5.\)

Область определения функции: \(-2-x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne -2.\)

Упростим заданную функцию:

\(y = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{-2-x}} = -\dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = -\left( {{x^2} + 1} \right) = -{x^2}-1,\,\,\,\,\,\,x \ne -2.\)

Следовательно, графиком исходной функции является парабола \(y = -{x^2}-1\), с выколотой точкой, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 0.\)

Для построения графика функции \(y = -{x^2}-1\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = 0,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\)

\(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-1 = -4-1 = -5;\)

\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-1 = -1-1 = -2;\)

\(y\left( 0 \right) = -{0^2}-1 = -1;\)

\(y\left( 1 \right) = -{1^2}-1 = -1-1 = -2;\)

\(y\left( 2 \right) = -{2^2}-1 = -4-1 = -5.\)

График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {-2;-5} \right)\), изображён на рис. 1.

Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\)

Прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком построенной функции одну общую точку в следующих случаях:

1) если прямая \(y = k\,x\) пересекает график параболы \(y = -{x^2}-1\) в двух точках, одна из которых является выколотой точкой с координатами \(\left( {-2;-5} \right).\) Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\):

\(-5 = k \cdot \left( {-2} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = 2,5.\)

На рис. 2 это случай (1).

2) если прямая \(y = k\,x\) касается графика параболы \(y = -{x^2}-1\). При этом точка касания \(x \ne -2.\) Для этого система уравнений \(\left\{ \begin{array}{l}y = -{x^2}-1,\\y = k\,x\end{array} \right.\) должна иметь одно решение. Следовательно, квадратное уравнение:

\(-{x^2}-1 = k\,x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} + k\,x + 1 = 0\)

должно иметь одно решение, что реализуется, если его дискриминант равен нулю:

\(D = {k^2}-4 \cdot 1 \cdot 1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{k^2} = 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = \pm 2.\)

Так как прямая \(y = k\,x\) проходит через точку \(x = -2\) при \(k = 2,5,\) то при \(k = \pm 2\) она будет касаться параболы в точках отличных от \(x = -2.\) На рис. 2 случаи касания (2) и (3).

Следовательно, при \(k = 2,5,\) \(k = -2\) и \(k = 2\) прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком заданной функции ровно одну общую точку.

Ответ: \(-2;\,\,\,\,\,\,2;\,\,\,\,\,\,2,5.\)