ОГЭ по математике. №22 Квадратичные функции. ФИПИ. Задача 6

ОТВЕТ: \(-5;\,\,\,\,\,\,-4;\,\,\,\,\,\,4.\)

Область определения функции: \(1-x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne 1.\)

Упростим заданную функцию:

\(y = \dfrac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x-1} \right)}}{{1-x}} = -\dfrac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x-1} \right)}}{{x-1}} = -\left( {{x^2} + 4} \right) = -{x^2}-4,\,\,\,\,\,\,x \ne 1.\)

Следовательно, графиком исходной функции является парабола \(y = -{x^2}-4\), с выколотой точкой, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 0.\)

Для построения графика функции \(y = -{x^2}-4\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = 0,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\)

\(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-4 = -4-4 = -8;\)

\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-4 = -1-4 = -5;\)

\(y\left( 0 \right) = -{0^2}-4 = -4;\)

\(y\left( 1 \right) = -{1^2}-4 = -1-4 = -5;\)

\(y\left( 2 \right) = -{2^2}-4 = -4-4 = -8.\)

График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {1;-5} \right)\), изображён на рис. 1.

Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\)

Прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком построенной функции одну общую точку в следующих случаях:

1) если прямая \(y = k\,x\) пересекает график параболы \(y = -{x^2}-4\) в двух точках, одна из которых является выколотой точкой с координатами \(\left( {1;-5} \right).\) Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\):

\(-5 = k \cdot 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = -5.\)

На рис. 2 это случай (1).

2) если прямая \(y = k\,x\) касается графика параболы \(y = -{x^2}-4\). При этом точка касания \(x \ne 1.\) Для этого система уравнений \(\left\{ \begin{array}{l}y = -{x^2}-4,\\y = k\,x\end{array} \right.\) должна иметь одно решение. Следовательно, квадратное уравнение:

\(-{x^2}-4 = k\,x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} + k\,x + 4 = 0\)

должно иметь одно решение, что реализуется, если его дискриминант равен нулю:

\(D = {k^2}-4 \cdot 1 \cdot 4 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{k^2} = 16\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = \pm 4.\)

Так как прямая \(y = k\,x\) проходит через точку \(x = 1\) при \(k = -5,\) то при \(k = \pm 4\) она будет касаться параболы в точках отличных от \(x = 1.\) На рис. 2 случаи касания (2) и (3).

Следовательно, при \(k = -5,\) \(k = -4\) и \(k = 4\) прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком заданной функции ровно одну общую точку.

Ответ: \(-5;\,\,\,\,\,\,-4;\,\,\,\,\,\,4.\)