ОГЭ по математике. №22 Кусочные функции. ФИПИ. Задача 10

ОТВЕТ:  \(\left\{ {-1,5} \right\} \cup \left( {0;2} \right).\)

Графиком каждой из трёх заданных линейных функций является прямая. Построим график каждой из этих функций при заданных значениях переменной x:

1) для построения графика \(y = 1,5x-1\) при \(x < 2\) возьмём значения \(x = 0\) и \(x = 2:\)

\(y\left( 0 \right) = 1,5 \cdot 0-1 = -1;\)     \(y\left( 2 \right) = 1,5 \cdot 2-1 = 3-1 = 2.\)

2) для построения графика \(y = -1,5x + 3\) при \(2 \le x \le 3\) возьмём значения \(x = 2\) и \(x = 3:\)

\(y\left( 2 \right) = -1,5 \cdot 2 + 3 = -3 + 3 = 0;\)     \(y\left( 3 \right) = -1,5 \cdot 3 + 3 = -4,5 + 3 = -1,5.\)

3) для построения графика \(y = 3x-10,5\) при \(x > 3\) возьмём значения \(x = 3\) и \(x = 4:\)

\(y\left( 3 \right) = 3 \cdot 3-10,5 = 9-10,5 = -1,5;\)     \(y\left( 4 \right) = 3 \cdot 4-10,5 = 12-10,5 = 1,5.\)

Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = 2\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {2;2} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {2;0} \right)\) — закрашенная. Точка \(\left( {3;-1,5} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -1,5x + 3\) и \(y = 3x-10,5\).

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -1,5\), проходящая через точку стыка \(\left( {3;-1,5} \right)\);

все случаи между (2): прямая \(y = 0\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {2;0} \right)\), и (3): прямая \(y = 2\), проходящая через выколотую точку \(\left( {2;2} \right)\), не включая их, так как при \(y = 0\) будет три общих точки, а при \(y = 2\) одна общая точка.

Следовательно, при \(m \in \left\{ {-1,5} \right\} \cup \left( {0;2} \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.

Ответ: \(\left\{ {-1,5} \right\} \cup \left( {0;2} \right).\)