Задача 13. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-6x + 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x \ge 1,\\x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < 1.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {3;5} \right].\)
Решение
Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-6x + 10\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-6}}{{2 \cdot 1}} = 3.\)
Для построения графика \(y = {x^2}-6x + 10\) при \(x \ge 1\) возьмём значения \(x = 1,\) \(x = 2,\) \(x = 3,\) \(x = 4\) и \(x = 5:\)
\(y\left( 1 \right) = {1^2}-6 \cdot 1 + 10 = 1-6 + 10 = 5;\)
\(y\left( 2 \right) = {2^2}-6 \cdot 2 + 10 = 4-12 + 10 = 2;\)
\(y\left( 3 \right) = {3^2}-6 \cdot 3 + 10 = 9-18 + 10 = 1;\)
\(y\left( 4 \right) = {4^2}-6 \cdot 4 + 10 = 16-24 + 10 = 2;\)
\(y\left( 5 \right) = {5^2}-6 \cdot 5 + 10 = 25-30 + 10 = 5.\)
Графиком линейной функции \(y = x + 2\) является прямая. Для построения графика функции \(y = x + 2\) при \(x < 1\) возьмём значения \(x = 0\) и \(x = 1:\)
\(y\left( 0 \right) = 0 + 2 = 2;\) \(y\left( 1 \right) = 1 + 2 = 3.\)
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = 1\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {1;3} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {1;5} \right)\) — закрашенная.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 1\), проходящая через вершину параболы \(\left( {3;1} \right)\);
все случаи между (2): прямая \(y = 3\), проходящая через выколотую точку \(\left( {1;3} \right)\), и (3): прямая \(y = 5\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {1;5} \right)\), включая их.
Следовательно, при \(m \in \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {3;5} \right]\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {3;5} \right].\)