Задача 17. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x \ge -4,\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < -4.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ {-5} \right\} \cup \left[ {-4;-1} \right].\)
Решение
Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 4x-1\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{4}{{2 \cdot 1}} = -2.\)
Для построения графика \(y = {x^2} + 4x-1\) при \(x \ge -4\) возьмём значения \(x = -4,\) \(x = -3,\) \(x = -2,\) \(x = -1\) и \(x = 0:\)
\(y\left( {-4} \right) = {\left( {-4} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-4} \right)-1 = 16-16-1 = -1;\)
\(y\left( {-3} \right) = {\left( {-3} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-3} \right)-1 = 9-12-1 = -4;\)
\(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-2} \right)-1 = 4-8-1 = -5;\)
\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-1} \right)-1 = 1-4-1 = -4;\)
\(y\left( 0 \right) = {0^2} + 4 \cdot 0-1 = -1.\)
| x |
\(-4\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
0 |
| y |
\(-1\) |
\(-4\) |
\(-5\) |
\(-4\) |
\(-1\) |
Графиком линейной функции \(y = x\) является прямая. Для построения графика функции \(y = x\) при \(x < -4\) возьмём значения \(x = -5\) и \(x = -4:\)
\(y\left( {-5} \right) = -5;\) \(y\left( {-4} \right) = -4.\)
| x |
\(-5\) |
\(-4\) |
| y |
\(-5\) |
\(-4\) |
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = -4\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {-4;-4} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {-4;-1} \right)\) — закрашенная.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = -5\), проходящая через вершину параболы \(\left( {-2;-5} \right)\);
все случаи между (2): прямая \(y = -4\), проходящая через выколотую точку \(\left( {-4;-4} \right)\), и (3): прямая \(y = -1\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {-4;-1} \right)\), включая их.
Следовательно, при \(m \in \left\{ {-5} \right\} \cup \left[ {-4;-1} \right]\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left\{ {-5} \right\} \cup \left[ {-4;-1} \right].\)