Задача 18. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}-{x^2}-4x-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x \ge -3,\\-x-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < -3.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {0;2} \right) \cup \left\{ 3 \right\}.\)
Решение
Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-4x-1\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-4}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -2.\)
Для построения графика \(y = -{x^2}-4x-1\) при \(x \ge -3\) возьмём значения \(x = -3,\) \(x = -2,\) \(x = -1\) и \(x = 0:\)
\(y\left( {-3} \right) = -{\left( {-3} \right)^2}-4 \cdot \left( {-3} \right)-1 = -9 + 12-1 = 2;\)
\(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-4 \cdot \left( {-2} \right)-1 = -4 + 8-1 = 3;\)
\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-4 \cdot \left( {-1} \right)-1 = -1 + 4-1 = 2;\)
\(y\left( 0 \right) = -{0^2}-4 \cdot 0-1 = -1.\)
| x |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
0 |
| y |
2 |
3 |
2 |
\(-1\) |
Графиком линейной функции \(y = -x-3\) является прямая. Для построения графика функции \(y = -x-3\) при \(x < -3\) возьмём значения \(x = -4\) и \(x = -3:\)
\(y\left( {-4} \right) = -\left( {-4} \right)-3 = 4-3 = 1;\) \(y\left( {-3} \right) = -\left( {-3} \right)-3 = 3-3 = 0.\)
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = -3\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {-3;0} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {-3;2} \right)\) — закрашенная.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
все случаи между (1): прямая \(y = 0,\) проходящая через выколотую точку \(\left( {-3;0} \right)\), и (2): прямая \(y = 2\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {-3;2} \right)\), не включая их, так как при \(y = 0\) будет одна общая точка, а при \(y = 2\) три общие точки;
случай (3): прямая \(y = 3\), проходящая через вершину параболы \(\left( {-2;3} \right)\).
Следовательно, при \(m \in \left( {0;2} \right) \cup \left\{ 3 \right\}\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left( {0;2} \right) \cup \left\{ 3 \right\}.\)