Задача 2. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}x-0,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < -2,\\-2x-6,5\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,-2 \le x \le -1,\\x-3,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,x > -1.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(-4,5;\,\,\,\,\,-2,5.\)
Решение
Графиком каждой из трёх заданных линейных функций является прямая. Построим график каждой из этих функций при заданных значениях переменной x:
1) для построения графика \(y = x-0,5\) при \(x < -2\) возьмём значения \(x = -3\) и \(x = -2:\)
\(y\left( {-3} \right) = -3-0,5 = -3,5;\) \(y\left( {-2} \right) = -2-0,5 = -2,5.\)
2) для построения графика \(y = -2x-6,5\) при \(-2 \le x \le -1\) возьмём значения \(x = -2\) и \(x = -1:\)
\(y\left( {-2} \right) = -2 \cdot \left( {-2} \right)-6,5 = 4-6,5 = -2,5;\) \(y\left( {-1} \right) = -2 \cdot \left( {-1} \right)-6,5 = 2-6,5 = -4,5.\)
3) для построения графика \(y = x-3,5\) при \(x > -1\) возьмём значения \(x = -1\) и \(x = 0:\)
\(y\left( {-1} \right) = -1-3,5 = -4,5;\) \(y\left( 0 \right) = 0-3,5 = -3,5.\)
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-2;-2,5} \right)\) является точкой стыка функций \(y = x-0,5\) и \(y = -2x-6,5\), а точка \(\left( {-1;-4,5} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -2x-6,5\) и \(y = x-3,5\).
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = -4,5\), проходящая через точку стыка \(\left( {-1;-4,5} \right)\);
случай (2): прямая \(y = -2,5\), проходящая через точку стыка \(\left( {-2;-2,5} \right)\).
Следовательно, при \(m = -4,5\) и \(m = -2,5\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(-4,5;\,\,\,\,\,-2,5.\)