Задача 26. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-10x + 25\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x \ge 4,\\x-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < 4.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left( {1;2} \right).\)
Решение
Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-10x + 25\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-10}}{{2 \cdot 1}} = 5.\)
Для построения графика \(y = {x^2}-10x + 25\) при \(x \ge 4\) возьмём значения \(x = 4,\) \(x = 5,\) \(x = 6\) и \(x = 7:\)
\(y\left( 4 \right) = {4^2}-10 \cdot 4 + 25 = 16-40 + 25 = 1;\)
\(y\left( 5 \right) = {5^2}-10 \cdot 5 + 25 = 25-50 + 25 = 0;\)
\(y\left( 6 \right) = {6^2}-10 \cdot 6 + 25 = 36-60 + 25 = 1;\)
\(y\left( 7 \right) = {7^2}-10 \cdot 7 + 25 = 49-70 + 25 = 4.\)
Графиком линейной функции \(y = x-2\) является прямая. Для построения графика функции \(y = x-2\) при \(x < 4\) возьмём значения \(x = 3\) и \(x = 4:\)
\(y\left( 3 \right) = 3-2 = 1;\) \(y\left( 4 \right) = 4-2 = 2.\)
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = 4\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {4;2} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {4;1} \right)\) — закрашенная.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 0\), проходящая через вершину параболы \(\left( {5;0} \right)\);
все случаи между (2): прямая \(y = 1\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {4;1} \right)\), и (3): прямая \(y = 2\), проходящая через выколотую точку \(\left( {4;2} \right),\) не включая их, так как при \(y = 1\) будет три общих точки, а при \(y = 2\) одна общая точка.
Следовательно, при \(m \in \left\{ 0 \right\} \cup \left( {1;2} \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left( {1;2} \right).\)