Задача 27. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x \ge -2,\\x + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < -2.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left( {1;4} \right).\)
Решение
Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 2x + 1\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{2}{{2 \cdot 1}} = -1.\)
Для построения графика \(y = {x^2} + 2x + 1\) при \(x \ge -2\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = 0\) и \(x = 1:\)
\(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-2} \right) + 1 = 4-4 + 1 = 1;\)
\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-1} \right) + 1 = 1-2 + 1 = 0;\)
\(y\left( 0 \right) = {0^2} + 2 \cdot 0 + 1 = 1;\)
\(y\left( 1 \right) = {1^2} + 2 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.\)
| x |
\(-2\) |
\(-1\) |
0 |
1 |
| y |
1 |
0 |
1 |
4 |
Графиком линейной функции \(y = x + 6\) является прямая. Для построения графика функции \(y = x + 6\) при \(x < -2\) возьмём значения \(x = -3\) и \(x = -2:\)
\(y\left( {-3} \right) = -3 + 6 = 3;\) \(y\left( {-2} \right) = -2 + 6 = 4.\)
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = -2\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {-2;4} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {-2;1} \right)\) — закрашенная.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 0\), проходящая через вершину параболы \(\left( {-1;0} \right)\);
все случаи между (2): прямая \(y = 1\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {-2;1} \right)\), и (3): прямая \(y = 4\), проходящая через выколотую точку \(\left( {-2;4} \right),\) не включая их, так как при \(y = 1\) будет три общих точки, а при \(y = 4\) одна общая точка.
Следовательно, при \(m \in \left\{ 0 \right\} \cup \left( {1;4} \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left( {1;4} \right).\)