Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 2x + 1\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{2}{{2 \cdot 1}} = -1.\)
Для построения графика \(y = {x^2} + 2x + 1\) при \(x \ge -4\) возьмём значения \(x = -4,\) \(x = -3,\) \(x = -1,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\)
\(y\left( {-4} \right) = {\left( {-4} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-4} \right) + 1 = 16-8 + 1 = 9;\)
\(y\left( {-3} \right) = {\left( {-3} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-3} \right) + 1 = 9-6 + 1 = 4;\)
\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-1} \right) + 1 = 1-2 + 1 = 0;\)
\(y\left( 1 \right) = {1^2} + 2 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4;\)
\(y\left( 2 \right) = {2^2} + 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9.\)
| x |
\(-4\) |
\(-3\) |
\(-1\) |
1 |
2 |
| y |
9 |
4 |
0 |
4 |
9 |
Графиком функции \(y = -\dfrac{{36}}{x}\) является гипербола. Для построения графика функции \(y = -\dfrac{{36}}{x}\) при \(x < -4\) возьмём значения \(x = -9,\) \(x = -6\) и \(x = -4:\)
\(y\left( {-9} \right) = -\dfrac{{36}}{{-9}} = 4;\) \(y\left( {-6} \right) = -\dfrac{{36}}{{-6}} = 6;\) \(y\left( {-4} \right) = -\dfrac{{36}}{{-4}} = 9.\)
| x |
\(-9\) |
\(-6\) |
\(-4\) |
| y |
4 |
6 |
9 |
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-4;9} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -\dfrac{{36}}{x}\) и \(y = {x^2} + 2x + 1\).
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции одну или две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 0\) проходит через вершину параболы \(\left( {-1;0} \right)\) и не имеет общих точек с гиперболой, то есть прямая \(y = 0\) имеет с графиком функции одну общую точку;
случай (2): прямая \(y = 9\) проходит через точку стыка \(\left( {-4;9} \right)\) и имеет с графиком две общие точки;
все случаи выше прямой \(y = 9\): в этом случае прямые с графиком будут иметь одну общую точку.
Следовательно, при \(m \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {9; + \infty } \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {9; + \infty } \right).\)