Задача 32. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-4x + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x \ge -1,\\-\dfrac{9}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < -1.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {9; + \infty } \right).\)
Решение
Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-4x + 4\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-4}}{{2 \cdot 1}} = 2.\)
Для построения графика \(y = {x^2}-4x + 4\) при \(x \ge -1\) возьмём значения \(x = -1,\) \(x = 0,\) \(x = 2,\) \(x = 4\) и \(x = 5:\)
\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2}-4 \cdot \left( {-1} \right) + 4 = 1 + 4 + 4 = 9;\)
\(y\left( 0 \right) = {0^2}-4 \cdot 0 + 4 = 4;\)
\(y\left( 2 \right) = {2^2}-4 \cdot 2 + 4 = 4-8 + 4 = 0;\)
\(y\left( 4 \right) = {4^2}-4 \cdot 4 + 4 = 16-16 + 4 = 4;\)
\(y\left( 5 \right) = {5^2}-4 \cdot 5 + 4 = 25-20 + 4 = 9.\)
| x |
\(-1\) |
0 |
2 |
4 |
5 |
| y |
9 |
4 |
0 |
4 |
9 |
Графиком функции \(y = -\dfrac{9}{x}\) является гипербола. Для построения графика функции \(y = -\dfrac{9}{x}\) при \(x < -1\) возьмём значения \(x = -9,\) \(x = -3\) и \(x = -1:\)
\(y\left( {-9} \right) = -\dfrac{9}{{-9}} = 1;\) \(y\left( {-3} \right) = -\dfrac{9}{{-3}} = 3;\) \(y\left( {-1} \right) = -\dfrac{9}{{-1}} = 9.\)
| x |
\(-9\) |
\(-3\) |
\(-1\) |
| y |
1 |
3 |
9 |
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-1;9} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -\dfrac{9}{x}\) и \(y = {x^2}-4x + 4\).
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции одну или две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 0\) проходит через вершину параболы \(\left( {2;0} \right)\) и не имеет общих точек с гиперболой, то есть прямая \(y = 0\) имеет с графиком функции одну общую точку;
случай (2): прямая \(y = 9\) проходит через точку стыка \(\left( {-1;9} \right)\) и имеет с графиком две общие точки;
все случаи выше прямой \(y = 9\): в этом случае прямые с графиком будут иметь одну общую точку.
Следовательно, при \(m \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {9; + \infty } \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {9; + \infty } \right).\)