Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 6x + 9\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{6}{{2 \cdot 1}} = -3.\)
Для построения графика \(y = {x^2} + 6x + 9\) при \(x \ge -5\) возьмём значения \(x = -5,\) \(x = -4,\) \(x = -3,\) \(x = -2\) и \(x = -1:\)
\(y\left( {-5} \right) = {\left( {-5} \right)^2} + 6 \cdot \left( {-5} \right) + 9 = 25-30 + 9 = 4;\)
\(y\left( {-4} \right) = {\left( {-4} \right)^2} + 6 \cdot \left( {-4} \right) + 9 = 16-24 + 9 = 1;\)
\(y\left( {-3} \right) = {\left( {-3} \right)^2} + 6 \cdot \left( {-3} \right) + 9 = 9-18 + 9 = 0;\)
\(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2} + 6 \cdot \left( {-2} \right) + 9 = 4-12 + 9 = 1;\)
\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2} + 6 \cdot \left( {-1} \right) + 9 = 1-6 + 9 = 4.\)
| x |
\(-5\) |
\(-4\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
| y |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
Графиком функции \(y = -\dfrac{{20}}{x}\) является гипербола. Для построения графика функции .. при \(x < -5\) возьмём значения \(x = -10,\) \(x = -8\) и \(x = -5:\)
\(y\left( {-10} \right) = -\dfrac{{20}}{{-10}} = 2;\) \(y\left( {-8} \right) = -\dfrac{{20}}{{-8}} = 2,5;\) \(y\left( {-5} \right) = -\dfrac{{20}}{{-5}} = 4.\)
| x |
\(-10\) |
\(-8\) |
\(-5\) |
| y |
2 |
2,5 |
4 |
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-5;4} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -\dfrac{{20}}{x}\) и \(y = {x^2} + 6x + 9\).
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции одну или две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 0\) проходит через вершину параболы \(\left( {-3;0} \right)\) и не имеет общих точек с гиперболой, то есть прямая \(y = 0\) имеет с графиком функции одну общую точку;
случай (2): прямая \(y = 4\) проходит через точку стыка \(\left( {-5;4} \right)\) и имеет с графиком две общие точки;
все случаи выше прямой \(y = 4\): в этом случае прямые с графиком будут иметь одну общую точку.
Следовательно, при \(m \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)