Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-2x + 1\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-2}}{{2 \cdot 1}} = 1.\)
Для построения графика \(y = {x^2}-2x + 1\) при \(x \ge -2\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = 1,\) \(x = 3\) и \(x = 4:\)
\(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2}-2 \cdot \left( {-2} \right) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9;\)
\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2}-2 \cdot \left( {-1} \right) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4;\)
\(y\left( 1 \right) = {1^2}-2 \cdot 1 + 1 = 1-2 + 1 = 0;\)
\(y\left( 3 \right) = {3^2}-2 \cdot 3 + 1 = 9-6 + 1 = 4;\)
\(y\left( 4 \right) = {4^2}-2 \cdot 4 + 1 = 16-8 + 1 = 9.\)
| x |
\(-2\) |
\(-1\) |
1 |
3 |
4 |
| y |
9 |
4 |
0 |
4 |
9 |
Графиком функции \(y = -\dfrac{{18}}{x}\) является гипербола. Для построения графика функции \(y = -\dfrac{{18}}{x}\) при \(x < -2\) возьмём значения \(x = -9,\) \(x = -6,\) \(x = -3\) и \(x = -2:\)
\(y\left( {-9} \right) = -\dfrac{{18}}{{-9}} = 2;\) \(y\left( {-6} \right) = -\dfrac{{18}}{{-6}} = 3;\) \(y\left( {-3} \right) = -\dfrac{{18}}{{-3}} = 6;\) \(y\left( {-2} \right) = -\dfrac{{18}}{{-2}} = 9.\)
| x |
\(-9\) |
\(-6\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
| y |
2 |
3 |
6 |
9 |
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-2;9} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -\dfrac{{18}}{x}\) и \(y = {x^2}-2x + 1\).
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции одну или две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 0\) проходит через вершину параболы \(\left( {1;0} \right)\) и не имеет общих точек с гиперболой, то есть прямая \(y = 0\) имеет с графиком функции одну общую точку;
случай (2): прямая \(y = 9\) проходит через точку стыка \(\left( {-2;9} \right)\) и имеет с графиком две общие точки;
все случаи выше прямой \(y = 9\): в этом случае прямые с графиком будут иметь одну общую точку.
Следовательно, при \(m \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {9; + \infty } \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {9; + \infty } \right).\)