Задача 38. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x \ge -4,\\-\dfrac{{16}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < -4.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)
Решение
Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 4x + 4\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{4}{{2 \cdot 1}} = -2.\)
Для построения графика \(y = {x^2} + 4x + 4\) при \(x \ge -4\) возьмём значения \(x = -4,\) \(x = -3,\) \(x = -2,\) \(x = -1\) и \(x = 0:\)
\(y\left( {-4} \right) = {\left( {-4} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-4} \right) + 4 = 16-16 + 4 = 4;\)
\(y\left( {-3} \right) = {\left( {-3} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-3} \right) + 4 = 9-12 + 4 = 1;\)
\(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-2} \right) + 4 = 4-8 + 4 = 0;\)
\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-1} \right) + 4 = 1-4 + 4 = 1;\)
\(y\left( 0 \right) = {0^2} + 4 \cdot 0 + 4 = 4.\)
| x |
\(-4\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
0 |
| y |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
Графиком функции \(y = -\dfrac{{16}}{x}\) является гипербола. Для построения графика функции \(y = -\dfrac{{16}}{x}\) при \(x < -4\) возьмём значения \(x = -8,\) \(x = -6\) и \(x = -4:\)
\(y\left( {-8} \right) = -\dfrac{{16}}{{-8}} = 2;\) \(y\left( {-6} \right) = -\dfrac{{16}}{{-6}} = \dfrac{8}{3};\) \(y\left( {-4} \right) = -\dfrac{{16}}{{-4}} = 4.\)
| x |
\(-8\) |
\(-6\) |
\(-4\) |
| y |
2 |
\(\dfrac{8}{3}\) |
4 |
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-4;4} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -\dfrac{{16}}{x}\) и \(y = {x^2} + 4x + 4\).
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции одну или две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 0\) проходит через вершину параболы \(\left( {-2;0} \right)\) и не имеет общих точек с гиперболой, то есть прямая \(y = 0\) имеет с графиком функции одну общую точку;
случай (2): прямая \(y = 9\) проходит через точку стыка \(\left( {-4;4} \right)\) и имеет с графиком две общие точки;
все случаи выше прямой \(y = 9\): в этом случае прямые с графиком будут иметь одну общую точку.
Следовательно, при \(m \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)