Задача 7. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}4x-5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < 1,\\-2,5x + 5\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,1 \le x \le 4,\\x-9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,x > 4.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ {-5} \right\} \cup \left[ {-1;2,5} \right].\)
Решение
Графиком каждой из трёх заданных линейных функций является прямая. Построим график каждой из этих функций при заданных значениях переменной x:
1) для построения графика \(y = 4x-5\) при \(x < 1\) возьмём значения \(x = 0\) и \(x = 1:\)
\(y\left( 0 \right) = 4 \cdot 0-5 = -5;\) \(y\left( 1 \right) = 4 \cdot 1-5 = 4-5 = -1.\)
2) для построения графика \(y = -2,5x + 5\) при \(1 \le x \le 4\) возьмём значения \(x = 1\) и \(x = 4:\)
\(y\left( 1 \right) = -2,5 \cdot 1 + 5 = -2,5 + 5 = 2,5;\) \(y\left( 4 \right) = -2,5 \cdot 4 + 5 = -10 + 5 = -5.\)
3) для построения графика \(y = x-9\) при \(x > 4\) возьмём значения \(x = 4\) и \(x = 5:\)
\(y\left( 4 \right) = 4-9 = -5;\) \(y\left( 5 \right) = 5-9 = -4.\)
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = 1\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {1;-1} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {1;2,5} \right)\) — закрашенная. Точка \(\left( {4;-5} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -2,5x + 5\) и \(y = x-9.\)
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = -5\), проходящая через точку стыка \(\left( {4;-5} \right)\);
все случаи между (2): прямая \(y = -1\), проходящая через выколотую точку \(\left( {1;-1} \right)\), и (3): прямая \(y = 2,5\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {1;2,5} \right)\), включая их.
Следовательно, при \(m \in \left\{ {-5} \right\} \cup \left[ {-1;2,5} \right]\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left\{ {-5} \right\} \cup \left[ {-1;2,5} \right].\)