Задача 9. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}3x-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < 2,\\-3x + 8,5\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,2 \le x \le 3,\\3,5x-11\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,x > 3.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ {-0,5} \right\} \cup \left( {2,5;3} \right).\)
Решение
Графиком каждой из трёх заданных линейных функций является прямая. Построим график каждой из этих функций при заданных значениях переменной x:
1) для построения графика \(y = 3x-3\) при \(x < 2\) возьмём значения \(x = 1\) и \(x = 2:\)
\(y\left( 1 \right) = 3 \cdot 1-3 = 3-3 = 0;\) \(y\left( 2 \right) = 3 \cdot 2-3 = 6-3 = 3.\)
2) для построения графика \(y = -3x + 8,5\) при \(2 \le x \le 3\) возьмём значения \(x = 2\) и \(x = 3:\)
\(y\left( 2 \right) = -3 \cdot 2 + 8,5 = -6 + 8,5 = 2,5;\) \(y\left( 3 \right) = -3 \cdot 3 + 8,5 = -9 + 8,5 = -0,5.\)
3) для построения графика \(y = 3,5x-11\) при \(x > 3\) возьмём значения \(x = 3\) и \(x = 4:\)
\(y\left( 3 \right) = 3,5 \cdot 3-11 = 10,5-11 = -0,5;\) \(y\left( 4 \right) = 3,5 \cdot 4-11 = 14-11 = 3.\)
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = 2\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {2;3} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {2;2,5} \right)\) — закрашенная. Точка \(\left( {3;-0,5} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -3x + 8,5\) и \(y = 3,5x-11\).
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = -0,5\), проходящая через точку стыка \(\left( {3;-0,5} \right)\);
все случаи между (2): прямая \(y = 2,5\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {2;2,5} \right)\), и (3): прямая \(y = 3\), проходящая через выколотую точку \(\left( {2;3} \right)\), не включая их, так как при \(y = 2,5\) будет три общих точки, а при \(y = 3\) одна общая точка.
Следовательно, при \(m \in \left\{ {-0,5} \right\} \cup \left( {2,5;3} \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left\{ {-0,5} \right\} \cup \left( {2,5;3} \right).\)