ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 25

ОТВЕТ: \(-9;\,\,\,\,\,4.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}x \cdot x-x-5x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\x \cdot \left( {-x} \right)-\left( {-x} \right)-5x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-6x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-{x^2}-4x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-4x\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-4}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -2.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-4x\) при \(x < 0\) возьмём значения  \(x = -4,\)  \(x = -3,\)  \(x = -2,\)  \(x = -1\)  и  \(x = 0:\)

\(y\left( {-4} \right) = -{\left( {-4} \right)^2}-4 \cdot \left( {-4} \right) = -16 + 16 = 0;\)

\(y\left( {-3} \right) = -{\left( {-3} \right)^2}-4 \cdot \left( {-3} \right) = -9 + 12 = 3;\)

\(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-4 \cdot \left( {-2} \right) = -4 + 8 = 4;\)

\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-4 \cdot \left( {-1} \right) = -1 + 4 = 3;\)

\(y\left( 0 \right) = -{0^2}-4 \cdot 0 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-6x\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-6}}{{2 \cdot 1}} = 3.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-6x\) при \(x \ge 0\) возьмём значения  \(x = 0,\)  \(x = 1,\)  \(x = 3,\)  \(x = 5\)  и  \(x = 6:\)

\(y\left( 0 \right) = {0^2}-6 \cdot 0 = 0;\)

\(y\left( 1 \right) = {1^2}-6 \cdot 1 = 1-6 = -5;\)

\(y\left( 3 \right) = {3^2}-6 \cdot 3 = 9-18 = -9;\)

\(y\left( 5 \right) = {5^2}-6 \cdot 5 = 25-30 = -5;\)

\(y\left( 6 \right) = {6^2}-6 \cdot 6 = 36-36 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -9\), проходящая через вершину \(\left( {3;-9} \right)\) параболы, направленной ветвями вверх;

случай (2): прямая \(y = 4\), проходящая через вершину \(\left( {-2;4} \right)\) параболы, направленной ветвями вниз.

Следовательно, при \(m = -9\) и \(m = 4\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: \(-9;\,\,\,\,\,4.\)