ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 29

ОТВЕТ: \(-2,25;\,\,\,\,\,0,25.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}x \cdot x-x-2x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\x \cdot \left( {-x} \right)-\left( {-x} \right)-2x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-3x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-{x^2}-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-x\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-1}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -0,5.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-x\) при \(x < 0\) возьмём значения  \(x = -2,\)  \(x = -1,\)  \(x = -0,5\)  и  \(x = 0:\)

\(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-\left( {-2} \right) = -4 + 2 = -2;\)

\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-\left( {-1} \right) = -1 + 1 = 0;\)

\(y\left( {-0,5} \right) = -{\left( {-0,5} \right)^2}-\left( {-0,5} \right) = -0,25 + 0,5 = 0,25;\)

\(y\left( 0 \right) = -{0^2}-0 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-3x\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-3}}{{2 \cdot 1}} = 1,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-3x\) при \(x \ge 0\) возьмём значения  \(x = 0,\)  \(x = 1,\)  \(x = 1,5,\)  \(x = 2\)  и  \(x = 3:\)

\(y\left( 0 \right) = {0^2}-3 \cdot 0 = 0;\)

\(y\left( 1 \right) = {1^2}-3 \cdot 1 = 1-3 = -2;\)

\(y\left( {1,5} \right) = {1,5^2}-3 \cdot 1,5 = 2,25-4,5 = -2,25;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^2}-3 \cdot 2 = 4-6 = -2;\)

\(y\left( 3 \right) = {3^2}-3 \cdot 3 = 9-9 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -2,25\), проходящая через вершину \(\left( {1,5;-2,25} \right)\) параболы, направленной ветвями вверх;

случай (2): прямая \(y = 0,25\), проходящая через вершину \(\left( {-0,5;0,25} \right)\) параболы, направленной ветвями вниз.

Следовательно, при \(m = -2,25\) и прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: \(-2,25;\,\,\,\,\,0,25.\)