ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 49

ОТВЕТ: \(0;\,\,\,\,\,1.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x + 7} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 7\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge -7,\\-x-7\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -7.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 7} \right)-{x^2}-13x-42\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -7,\\3\left( {-x-7} \right)-{x^2}-13x-42\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -7\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}-{x^2}-10x-21\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -7,\\-{x^2}-16x-63\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -7.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-16x-63\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-16}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -8.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-16x-63\) при \(x < -7\) возьмём значения  \(x = -10,\)  \(x = -9,\)  \(x = -8\)  и  \(x = -7:\)

\(y\left( {-10} \right) = -{\left( {-10} \right)^2}-16 \cdot \left( {-10} \right)-63 = -100 + 160-63 = -3;\)

\(y\left( {-9} \right) = -{\left( {-9} \right)^2}-16 \cdot \left( {-9} \right)-63 = -81 + 144-63 = 0;\)

\(y\left( {-8} \right) = -{\left( {-8} \right)^2}-16 \cdot \left( {-8} \right)-63 = -64 + 128-63 = 1;\)

\(y\left( {-7} \right) = -{\left( {-7} \right)^2}-16 \cdot \left( {-7} \right)-63 = -49 + 112-63 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-10x-21\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-10}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -5.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-10x-21\) при \(x \ge -7\) возьмём значения  \(x = -7,\)  \(x = -6,\)  \(x = -5,\)  \(x = -4\)  и  \(x = -3:\)

\(y\left( {-7} \right) = -{\left( {-7} \right)^2}-10 \cdot \left( {-7} \right)-21 = -49 + 70-21 = 0;\)

\(y\left( {-6} \right) = -{\left( {-6} \right)^2}-10 \cdot \left( {-6} \right)-21 = -36 + 60-21 = 3;\)

\(y\left( {-5} \right) = -{\left( {-5} \right)^2}-10 \cdot \left( {-5} \right)-21 = -25 + 50-21 = 4;\)

\(y\left( {-4} \right) = -{\left( {-4} \right)^2}-10 \cdot \left( {-4} \right)-21 = -16 + 40-21 = 3;\)

\(y\left( {-3} \right) = -{\left( {-3} \right)^2}-10 \cdot \left( {-3} \right)-21 = -9 + 30-21 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-7;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {-7;0} \right)\) двух парабол;

случай (2): прямая \(y = 1\), проходящая через вершину \(\left( {-8;1} \right)\) параболы, построенной при \(x < -7\).

Следовательно, при \(m = 0\) и \(m = 1\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(0;\,\,\,\,\,1.\)