Так как AF биссектриса \(\angle BAD,\) то \(\angle DAF = \angle BAF = \alpha ,\) а BF биссектриса \(\angle ABC,\) то \(\angle ABF = \angle CBF = \beta .\) Сумма односторонних углов BAD и ABC при параллельных прямых AD и BC и секущей AB равна \({180^\circ }.\) Следовательно:
\(\angle BAD + \angle ABC = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\alpha + 2\beta = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\alpha + \beta = {90^\circ }.\)
Рассмотрим треугольник ABF, сумма углов которого равна \({180^\circ }:\)
\(\angle BAF + \angle ABF + \angle AFB = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\alpha + \beta + \angle AFB = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{90^\circ } + \angle AFB = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\angle AFB = {90^\circ }.\)
Таким образом, треугольник AFB является прямоугольным с гипотенузой AB, для нахождения которой воспользуемся теоремой Пифагора:
\(A{B^2} = A{F^2} + B{F^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {256 + 144} = \sqrt {400} = 20.\)
Ответ: 20.