Пусть \(CF = 5x,\,\,\,\,DF = 4x.\) Так как \(AD\parallel BC\parallel EF,\) то по теореме Фалеса \(\dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{{CF}}{{DF}} = \dfrac{5}{4}.\)
Пусть \(BE = 5y,\,\,\,\,AE = 4y.\) Проведём диагональ AC которая пересекает EF в точке M.
Рассмотрим треугольники MCF и ACD. В них \(\angle CFM = \angle CDA\) как соответственные углы, образованные параллельными прямыми MF и AD и секущей CD, а \(\angle ACD\)-общий. Значит треугольники MCF и ACD подобны по двум углам и их стороны пропорциональны:
\(\dfrac{{MF}}{{AD}} = \dfrac{{CF}}{{CD}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{MF}}{{45}} = \dfrac{{5x}}{{5x + 4x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{MF}}{{45}} = \dfrac{{5x}}{{9x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,MF = \dfrac{{5 \cdot 45}}{9} = 25.\)
Рассмотрим треугольники AEM и ABC. В них \(\angle AEM = \angle ABC\) как соответственные углы, образованные параллельными прямыми EM и BC и секущей AB, а \(\angle BAC\)-общий. Значит треугольники AEM и ABC подобны по двум углам и их стороны пропорциональны:
\(\dfrac{{EM}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{EM}}{{27}} = \dfrac{{4y}}{{4y + 5y}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{EM}}{{27}} = \dfrac{{4y}}{{9y}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,EM = \dfrac{{4 \cdot 27}}{9} = 12.\)
Следовательно:
\(EF = EM + MF = 12 + 25 = 37.\)
Ответ: 37.