Пусть \(CF = 7x,\,\,\,\,DF = 2x.\) Так как \(AD\parallel BC\parallel EF,\) то по теореме Фалеса \(\dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{{CF}}{{DF}} = \dfrac{7}{2}.\)
Пусть \(BE = 7y,\,\,\,\,AE = 2y.\) Проведём диагональ AC которая пересекает EF в точке M.
Рассмотрим треугольники MCF и ACD. В них \(\angle CFM = \angle CDA\) как соответственные углы, образованные параллельными прямыми MF и AD и секущей CD, а \(\angle ACD\)-общий. Значит треугольники MCF и ACD подобны по двум углам и их стороны пропорциональны:
\(\dfrac{{MF}}{{AD}} = \dfrac{{CF}}{{CD}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{MF}}{{36}} = \dfrac{{7x}}{{7x + 2x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{MF}}{{36}} = \dfrac{{7x}}{{9x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,MF = \dfrac{{7 \cdot 36}}{9} = 28.\)
Рассмотрим треугольники AEM и ABC. В них \(\angle AEM = \angle ABC\) как соответственные углы, образованные параллельными прямыми EM и BC и секущей AB, а \(\angle BAC\)-общий. Значит треугольники AEM и ABC подобны по двум углам и их стороны пропорциональны:
\(\dfrac{{EM}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{EM}}{{18}} = \dfrac{{2y}}{{2y + 7y}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{EM}}{{18}} = \dfrac{{2y}}{{9y}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,EM = \dfrac{{2 \cdot 18}}{9} = 4.\)
Следовательно:
\(EF = EM + MF = 4 + 28 = 32.\)
Ответ: 32.