ОГЭ по математике. №23 Окружности. ФИПИ. Задача 10

ОТВЕТ: 30.

Пусть O – центр окружности. Проведём перпендикуляры OH и OM к хордам AB и CD соответственно и радиусы OA, OB, OC и OD. Треугольник OAB является равнобедренным (\(OA = OB\) как радиусы). Тогда высота OH является медианой и \(AH = BH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{16}}{2} = 8.\) По условию \(OH = 15.\) Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHO:

\(O{A^2} = A{H^2} + H{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,O{A^2} = {8^2} + {15^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,O{A^2} = 289\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,OA = 17.\)

Следовательно, \(OA = OB = OC = OD = 17.\)

Треугольник OCD является равнобедренным (\(OC = OD\) как радиусы). По условию \(OM = 8.\)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM:

\(O{C^2} = O{M^2} + C{M^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,C{M^2} = {17^2}-{8^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,C{M^2} = 225\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CM = 15.\)

Так ка треугольник OCD является равнобедренным, то высота OM является медианой и \(CD = 2 \cdot CM = 2 \cdot 15 = 30.\)

Ответ: 30.