ОГЭ по математике. №23 Окружности. ФИПИ. Задача 23

ОТВЕТ: 8.

1 способ

Пусть O – центр окружности. Тогда отрезки OC и OB являются радиусами. Так как AB является касательной к окружности, то \(\angle ABO = {90^ \circ }\) и треугольник ABO является прямоугольным. Пусть \(OB = OC = R,\) тогда \(AO = 9-R.\) Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABO:

\(A{B^2} + O{B^2} = A{O^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{3^2} + {R^2} = {\left( {9-R} \right)^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,9 + {R^2} = 81-18R + {R^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,18R = 72\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R = 4.\)

Тогда диаметр окружности равен \(2R = 2 \cdot 4 = 8.\)

Ответ: 8.

2 способ

Пусть окружность пересекает отрезок AC второй раз в т очке D. По условию центр окружности лежит на AC, поэтому он лежит на CD. Значит хорда CD проходит через центр окружности и является её диаметром. Пусть \(CD = x.\) Тогда \(AD = 9-x.\)

Воспользуемся свойство касательной и секущей: квадрат AB касательной к окружности равен произведению секущей AC на её внешнюю часть AD.

\(A{B^2} = AC \cdot AD\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{3^2} = 9 \cdot \left( {9-x} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,9 = 81-9x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 8.\)

Ответ: 8.