ОГЭ по математике. №23 Окружности. ФИПИ. Задача 40

ОТВЕТ: 3.

Так как четырёхугольник BKPC вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна \({180^ \circ },\) то есть \(\angle PCB + \angle BKP = {180^ \circ }.\)

Пусть \(\angle PCB = \alpha ,\) тогда \(\angle BKP = {180^ \circ }-\alpha .\) Углы BKP и PKA являются смежные, сумма которых равна \({180^ \circ }.\) Следовательно:

\(\angle PKA = {180^ \circ }-\angle BKP = {180^ \circ }-\left( {{{180}^ \circ }-\alpha } \right) = \alpha .\)

Треугольники AKP и ABC подобны по двум углам (\(\angle PKA = \angle ACB = \alpha \) и \(\angle BAC\)-общий). Пусть \(BC = x,\) тогда \(AB = 3x.\) Из подобия треугольников AKP и ABC следует:

\(\dfrac{{KP}}{{BC}} = \dfrac{{AP}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{KP}}{x} = \dfrac{9}{{3x}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,KP = 3.\)

Ответ: 3.