ОГЭ по математике. №23 Окружности. ФИПИ. Задача 5

ОТВЕТ: 10.

Пусть O – центр окружности. Проведём перпендикуляры OH и OM к хордам AB и CD соответственно и радиусы OA, OB, OC и OD. Треугольник OAB является равнобедренным (\(OA = OB\) как радиусы). Тогда высота OH является медианой и \(AH = BH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{20}}{2} = 10.\) По условию \(OH = 24.\) Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHO:

\(O{A^2} = A{H^2} + H{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,O{A^2} = {10^2} + {24^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,O{A^2} = 676\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,OA = 26.\)

Следовательно, \(OA = OB = OC = OD = 26.\)

Треугольник OCD является равнобедренным (\(OC = OD\) как радиусы). Тогда высота OM является медианой и \(CM = DM = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{48}}{2} = 24.\)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM:

\(O{C^2} = O{M^2} + C{M^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,O{M^2} = {26^2}-{24^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,O{M^2} = 100\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,OM = 10.\)

Следовательно, расстояние от центра окружности до хорды CD равно 10.

Ответ: 10.