Пусть точки M и N — середины боковых сторон трапеции AB и CD соответственно. Тогда\(AM = MB\), \(CN = ND\) и MN — средняя линия трапеции ABCD. Точка F по условию лежит на MN. Проведем через точку F высоту KL трапеции ABCD. Тогда \(KL \bot BC\) и \(KL \bot AD\). По свойству средней линии трапеции \(MN\parallel AD\) и \(MN\parallel BC\).
Тогда по теореме Фалеса для параллельных прямых BC, MN и AD:\(\dfrac{{LF}}{{KF}} = \dfrac{{BM}}{{AM}} = \dfrac{1}{1}.\)
Значит, \(LF = KF = \dfrac{1}{2}KL\). Пусть \(BC = a\), \(AD = b\), \(LF = KF = h.\) Тогда \(KL = 2h.\)
Площадь трапеции ABCD равна
\({S_{ABCD}} = \dfrac{{BC + AD}}{2} \cdot KL = \dfrac{{a + b}}{2} \cdot 2h = \left( {a + b} \right) \cdot h.\)
Рассмотрим треугольник BFC. В нём \(FL = h\) — высота.
Тогда \({S_{BFC}} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot FL = \dfrac{1}{2}ah.\)
Рассмотрим треугольник AFD. В нём \(FK = h\) — высота.
Тогда \({S_{AFD}} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot FK = \dfrac{1}{2}bh.\)
Найдём сумму площадей этих треугольников:
\({S_{BFC}} + {S_{AFD}} = \dfrac{1}{2}ah + \dfrac{1}{2}bh = \dfrac{{\left( {a + b} \right)h}}{2} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}.\)