ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники. ФИПИ. Задача 20

Проведем через точку K прямую EL, перпендикулярную основаниям трапеции ABCD. Тогда \(EL \bot BC\) и \(EL \bot AD.\)

По условию K — середина CD. Тогда \(CK = DK.\)

Рассмотрим треугольники DKL и CKE. Они прямоугольные, так как \(\angle DLK = \angle CEK = {90^ \circ }.\) В них \(\angle DKL = \angle CKE\) как вертикальные углы между прямыми CD и EL. При этом \(DK = CK.\) Таким образом, прямоугольные треугольники DKL и CKE равны по острому углу и гипотенузе. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому \(LK = EK.\)

Пусть \(BC = a,\) \(AD = b,\) \(KE = KL = h.\) Тогда \(EL = EK + KL = 2h.\)

Площадь трапеции ABCD равна \({S_{ABCD}} = \dfrac{{BC + AD}}{2} \cdot EL = \dfrac{{a + b}}{2} \cdot 2h = \left( {a + b} \right) \cdot h.\)

Рассмотрим треугольник BKC. Найдём его площадь: \({S_{BKC}} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot EK = \dfrac{1}{2}ah.\)

Рассмотрим треугольник AKD. Найдём его площадь: \({S_{AKD}} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot KL = \dfrac{1}{2}bh.\)

Тогда \({S_{BKC}} + {S_{AKD}} = \dfrac{1}{2}ah + \dfrac{1}{2}bh = \dfrac{{a + b}}{2} \cdot h = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}.\)

Следовательно, \({S_{KAB}} = {S_{ABCD}}-\left( {{S_{BKC}} + {S_{AKD}}} \right) = {S_{ABCD}}-\dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}.\)