ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники. ФИПИ. Задача 21

Проведем через точку E прямую KL, перпендикулярную основаниям трапеции ABCD. Тогда \(KL \bot BC\) и \(KL \bot AD\).

По условию E — середина AB. Тогда \(AE = BE.\)

Рассмотрим треугольники AEL и BEK. Они прямоугольные, так как \(\angle ALE = \angle BKE = {90^ \circ }.\) В них \(\angle AEL = \angle BEK\) как вертикальные углы между прямыми AB и KL. При этом \(AE = BE.\) Таким образом, прямоугольные треугольники AEL и BEK равны по острому углу и гипотенузе. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому \(EL = EK.\)

Пусть \(BC = a,\) \(AD = b,\) \(EL = EK = h.\) Тогда \(KL = EK + EL = 2h.\)

Площадь трапеции ABCD равна \({S_{ABCD}} = \dfrac{{BC + AD}}{2} \cdot KL = \dfrac{{a + b}}{2} \cdot 2h = \left( {a + b} \right) \cdot h.\)

Рассмотрим треугольник BEC. Найдём его площадь: \({S_{BEC}} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot EK = \dfrac{1}{2}ah.\)

Рассмотрим треугольник AED. Найдём его площадь: \({S_{AED}} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot EL = \dfrac{1}{2}bh.\)

Тогда \({S_{BEC}} + {S_{AED}} = \dfrac{1}{2}ah + \dfrac{1}{2}bh = \dfrac{{a + b}}{2} \cdot h = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}.\)

Следовательно, \({S_{ECD}} = {S_{ABCD}}-\left( {{S_{BEC}} + {S_{AED}}} \right) = {S_{ABCD}}-\dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}.\)