ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники. ФИПИ. Задача 22

По условию четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны параллельны и равны, то есть \(AB = CD\) и \(BC\parallel AD.\) Углы ABM и CBM равны, так как BM — биссектриса угла ABC. При этом \(\angle CBM = \angle AMB\) как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми BC и AD и секущей BM. Тогда \(\angle ABM = \angle AMB\) и треугольник ABM является равнобедренным, в котором равны стороны AB и AM.

Углы DCM и BCM равны, так как CM — биссектриса угла BCD. При этом \(\angle BCM = \angle DMC\) как внутренние накрест лежащие углы, образованные

параллельными прямыми BC и AD и секущей CM. Тогда \(\angle DCM = \angle DMC\) и треугольник DCM является равнобедренным, в котором равны стороны DC и DM.

Таким образом, \(AM = AB = CD = DM.\)

Следовательно, \(AM = DM\) и точка M является серединой стороны AD.