ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники. ФИПИ. Задача 24

По условию четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны и параллельны, то есть \(AB = CD\) и \(BC\parallel AD.\) Углы BAK и DAK равны, так как AK — биссектриса угла BAD. При этом \(\angle DAK = \angle BKA\) как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми BC и AD и секущей AK. Тогда\(\angle BAK = \angle BKA\) и треугольник ABK является равнобедренным, в котором равны стороны AB и BK.

Углы ADK и CDK равны, так как DK — биссектриса угла ADC. При этом \(\angle ADK = \angle CKD\) как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми BC и AD и секущей DK. Тогда \(\angle CDK = \angle CKD\) и треугольник CDK является равнобедренным, в котором равны стороны CK и CD.

Таким образом, \(BK = BA = CD = CK.\)

Следовательно, \(BK = CK\) и точка K является серединой стороны BC.