ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники. ФИПИ. Задача 30math100admin44242026-05-05T19:09:40+03:00
Задача 30. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.
Решение
По условию четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны параллельны. В частности, \(AB\parallel CD\).
Рассмотрим треугольники OBP и ODQ. В них \(BO = DO,\) так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. \(\angle BOP = \angle DOQ\) как вертикальные и \(\angle OBP = \angle ODQ\) как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Тогда треугольники OBP и ODQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, \(BP = DQ\) как соответственные элементы равных треугольников.