ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники. ФИПИ. Задача 32

Проведём \(OM \bot BC\), \(OL \bot AB\) и \(ON \bot CD\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники OMC и ONC. В них OC — общая гипотенуза, \(\angle MCO = \angle NCO\), так как CO — биссектриса \(\angle C\). Следовательно, треугольники OMC и ONC равны по гипотенузе и острому углу. Тогда \(OM = ON\) как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OMB и OLB. В них BO — общая гипотенуза, \(\angle OBM = \angle OBL\), так как BO — биссектриса \(\angle B\). Следовательно, треугольники OMB и OLB равны по гипотенузе и острому углу. Тогда \(OM = OL\) как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем, что \(OL = OM = ON.\) Значит, точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.