ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники. ФИПИ. Задача 33

Проведём \(KL \bot AD\), \(KM \bot AB\) и \(KN \bot BC\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники KAL и KAM. В них KA — общая гипотенуза, \(\angle KAL = \angle KAM\), так как AK — биссектриса \(\angle A\). Следовательно, треугольники KAL и KAM равны по гипотенузе и острому углу. Тогда \(KL = KM\) как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники KBN и KBM. В них KB — общая гипотенуза, \(\angle KBN = \angle KBM\), так как BK — биссектриса \(\angle B\). Следовательно, треугольники KBN и KBM равны по гипотенузе и острому углу. Тогда \(KN = KM\) как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем, что \(KL = KM = KN.\) Значит, точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.