ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники. ФИПИ. Задача 35

Проведём \(PM \bot CD\), \(PL \bot BC\) и \(PN \bot AD\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники PMD и PND. В них DP — общая гипотенуза, \(\angle PDM = \angle PDN\), так как DP — биссектриса \(\angle D\). Следовательно, треугольники PMD и PND равны по гипотенузе и острому углу. Тогда \(PM = PN\) как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники PCM и PCL. В них PC — общая гипотенуза, \(\angle PCM = \angle PCL\), так как CP — биссектриса \(\angle C\). Следовательно, треугольники PCM и PCL равны по гипотенузе и острому углу. Тогда \(PM = PL\) как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем, что \(PN = PM = PL.\) Значит, точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.