ОГЭ по математике. №24 Геометрические задачи на доказательство. Окружности. ФИПИ. Задача 1math100admin44242026-04-30T12:57:12+03:00
Задача 1. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Решение
Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то \(\angle ABC + ADC = {180^ \circ }\). Пусть \(\angle ADC = {\rm{\alpha }}{\rm{,}}\) тогда \(\angle ABC = {180^ \circ }-\angle ADC = {180^ \circ }-{\rm{\alpha }}{\rm{.}}\) \(\angle ABC\) и \(\angle MBC\)смежные, поэтому\(\angle ABC + \angle MBC = {180^ \circ }\), следовательно,\(\angle MBC = {180^ \circ }-\angle ABC = {180^ \circ }-\left( {{{180}^ \circ }-{\rm{\alpha }}} \right) = {\rm{\alpha }}{\rm{.}}\) Рассмотрим треугольники MBC и MDA. Так как \(\angle BMC\) — общий и \(\angle MBC = \angle MDA = {\rm{\alpha }}{\rm{,}}\) то треугольники MBC и MDA подобны по двум углам.