Задача 14. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
ОТВЕТ: 1,6.
\(AB + CD + AD + BC = 40\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\left( {AB + CD} \right) = 40\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB + CD = 20.\) Следовательно, \(AB = CD = \dfrac{{20}}{2} = 10\) и \(AD + BC = 20.\) Опустим высоты трапеции BN и CM. Воспользуемся формулой площади трапеции: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{AD + BC}}{2} \cdot BN\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,80 = \dfrac{{20}}{2} \cdot BN\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BN = 8.\) Рассмотрим треугольники ABN и DCM. В них \(AB = CD,\) \(\angle BAN = \angle CDM\) как углы при основании равнобедренной трапеции, \(\angle BNA = \angle CMD = {90^\circ }.\) Следовательно, прямоугольные треугольники ABN и DCM равны по гипотенузе и острому углу и \(AN = DM\) как соответственные элементы. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABN: \(A{B^2} = A{N^2} + B{N^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A{N^2} = {10^2}-{8^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A{N^2} = 36\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AN = 6.\) Тогда: \(MD = AN = 6.\) Так как основания трапеции AD и BC параллельны, а BN и CM являются высотами трапеции, то четырёхугольник NBCM является прямоугольником, в котором \(NM = BC.\) Так как \(AD + BC = 20,\) то: \(AN + NM + MD + BC = 20\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,6 + BC + 6 + BC = 20\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BC = 4.\) Тогда: \(AD = 20-BC = 20-4 = 16.\) Проведём высоту KH трапеции, проходящую через точку O. Рассмотрим треугольники BCO и ADO. В них \(\angle BCA = \angle CAD\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC, \(\angle COB = \angle AOD\) как вертикальные. Следовательно, BCO и ADO подобны по двум углам и отношение их соответствующих высот равно коэффициенту подобия, то есть: \(\dfrac{{OK}}{{OH}} = \dfrac{{BC}}{{AD}} = \dfrac{4}{{16}} = \dfrac{1}{4}.\) Так как высота трапеции \(KH = 8,\) то \(OH = KH-OK = 8-OK.\) \(\dfrac{{OK}}{{OH}} = \dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{OK}}{{8-OK}} = \dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,4 \cdot OK = 8-OK\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,OK = 1,6.\) Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания – длина отрезка OK, то есть 1,6. Ответ: 1,6. 
Пусть ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, причём \(AD > BC.\) Так как трапеция равнобедренная, то \(AB = CD.\) Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O. Так как в трапецию можно вписать окружность, то её суммы противоположных сторон равны, то есть \(AB + CD = AD + BC.\) Так как периметр трапеции равен 40, то: